Appendix 6 — Afleiding van de Stelling van Gauss
We beginnen met een kubus van infinitesimaal kleine afmetingen.
Door deze oneindig kleine kubus stroomt een flux \(\vec{F}\) .
Deze flux is niet overal hetzelfde en is daarom een functie van \(x,y,z,t\) .
De flux is een vector, omdat deze zowel een grootte als een richting heeft:
\begin{equation}
\vec{F}_{\text{flux}} = \vec{F}(x,y,z,t)
\label{eq:R01}
\end{equation}
Flux door een oppervlak
Beschouw nu de rechterzijde van de kubus, een vlak evenwijdig aan het \(y\)-\(z\)-vlak.
De flux die door dit oppervlak stroomt, wordt bepaald door de component van
\(\vec{F}\) die loodrecht op dat vlak staat.
Als \(\xi\) de hoek is tussen \(\vec{F}\) en het oppervlak, dan geldt:
\begin{equation}
\vec{F}_{\text{rechts}} = \vec{F} \,\sin\xi \, dy\,dz
\label{eq:R02}
\end{equation}
We representeren het oppervlak als een vector \(d\vec{A}\) , die loodrecht op het vlak staat:
\begin{equation}
d\vec{A} = \vec{dy} \times \vec{dz},
\qquad
|dA| = \sin\xi \, dy\,dz
\label{eq:R03}
\end{equation}
De flux door de rechterzijde wordt dan:
\begin{equation}
\vec{F}_{\text{rechts}}
= \vec{F} \sin\xi \, dy\,dz
= \vec{F} \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\xi\right) dA
= \vec{F} \cos\varphi \, dA
= \vec{F}\cdot d\vec{A}
\label{eq:R04}
\end{equation}
Hierbij staat \(d\vec{A}\) loodrecht op het oppervlak en is
\(\varphi\) de complementaire hoek van \(\xi\) .
We herkennen dus het inwendig product:
\begin{equation}
Flux_{rechts}=\vec{F}d\vec{A}\,\cos\phi=\vec{F}\cdot d\vec{A}
\label{eq:R05}
\end{equation}
Flux door het totale oppervlak van de kubus
Voor een eindige kubus is de totale flux de som van de bijdragen van alle zes vlakken:
\begin{equation}
\begin{aligned}
& F_{\text{flux, kubus}} =\iint_{\text{rechts}} \vec{F} \cdot d\vec{A}+
+\iint_{\text{rechts}} \vec{F} \cdot d\vec{A}
+\iint_{\text{links}} \vec{F} \cdot d\vec{A}
\\ &\quad
+\iint_{\text{voorkant}} \vec{F} \cdot d\vec{A}
+\iint_{\text{achter}} \vec{F} \cdot d\vec{A}
+\iint_{\text{onder}} \vec{F} \cdot d\vec{A}
+\iint_{\text{boven}} \vec{F} \cdot d\vec{A}
\label{eq:R06}
\end{aligned}
\end{equation}
Of:
\begin{equation}
F_{\text{kubus}}
= \sum_{\text{alle vlakken}} \vec{F}\cdot d\vec{A}
\label{eq:R07}
\end{equation}
Dit schrijven we als één integraal over het gesloten oppervlak:
\begin{equation}
F_{\text{kubus}} = \oiint_{\partial A} \vec{F}\cdot d\vec{A}
\label{eq:R08}
\end{equation}
Alternatieve benadering: flux als limiet
In de \(x\)-richting is de inkomende flux:
\begin{equation}
F_{\text{links}} = F_x \, dy\,dz
\label{eq:R09}
\end{equation}
De flux die de rechterzijde verlaat is:
\begin{equation}
F_{\text{rechts}} = (F_x + dF_x)\, dy\,dz
\label{eq:R10}
\end{equation}
De netto flux in de \(x\)-richting:
\begin{equation}
F_x^{\text{netto}}
= F_{\text{rechts}} - F_{\text{links}}
=(F_x + dF_x)\, dy\, dz - F_x\, dy\, dz
= dF_x\, dy\,dz
\label{eq:R11}
\end{equation}
Analoog:
\begin{equation}
F_y^{\text{netto}} = dF_y\, dx\,dz,
\qquad
F_z^{\text{netto}} = dF_z\, dx\,dy
\label{eq:R12}
\end{equation}
De totale flux door de kubus:
\begin{equation}
F_{\text{kubus}}
= dF_x\,dy\,dz + dF_y\,dx\,dz + dF_z\,dx\,dy
\label{eq:R13}
\end{equation}
Herschreven met partiële afgeleiden:
\begin{equation}
F_{\text{kubus}}
= \left(
\frac{\partial F_x}{\partial x}
+ \frac{\partial F_y}{\partial y}
+ \frac{\partial F_z}{\partial z}
\right) dx\,dy\,dz
\end{equation}
\begin{equation}
F_{\text{kubus}}
= (\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\, dV
\label{eq:R15}
\end{equation}
De operator ∇
\begin{equation}
\vec{\nabla}
= \frac{\partial}{\partial x}\,\hat{e}_x
+ \frac{\partial}{\partial y}\,\hat{e}_y
+ \frac{\partial}{\partial z}\,\hat{e}_z
= \left(
\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}
\right)
\label{eq:R16}
\end{equation}
Daarmee wordt vergelijking (\ref{eq:R13}) :
\begin{equation}
F_{\text{kubus}} = (\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\, dV
\label{eq:R17}
\end{equation}
Netto flux door de kubus
Door te integreren over het volledige volume van de kubus vinden we:
\begin{equation}
F_{\text{kubus}}
= \iiint_{\text{kubus}} (\nabla \cdot \vec{F})\, dV
\label{eq:R18}
\end{equation}
De Stelling van Gauss
Vergelijking (\ref{eq:R08}) gaf de flux door het gesloten oppervlak:
\begin{equation}
F_{\text{kubus}}
= \oiint_{\partial A} \vec{F}\cdot d\vec{A}
\end{equation}
Vergelijking (\ref{eq:R18}) gaf dezelfde flux als volumeterm:
\begin{equation}
F_{\text{kubus}}
= \iiint_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\, dV
\end{equation}
Omdat beide uitdrukkingen dezelfde flux beschrijven, volgt:
\begin{equation}
\oiint_{\partial A} \vec{F}\cdot d\vec{A}
=
\iiint_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\, dV
\label{eq:R21}
\end{equation}
Aangezien het volume willekeurig was (niet noodzakelijk een kubus), geldt dit voor elk gesloten volume:
\begin{equation}
\oiint_{\partial A} \vec{F}\cdot d\vec{A}
=
\iiint_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\, dV
\label{eq:R22}
\end{equation}
Dit is de Stelling van Gauss (ook wel de Divergentiestelling).
Bijzonder geval: nul flux
Indien de netto flux door het gesloten oppervlak nul is:
\begin{equation}
\oiint_{\partial A} \vec{F}\cdot d\vec{A} = 0
\end{equation}
dan volgt uit de stelling van Gauss:
\begin{equation}
\iiint_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{F})\, dV = 0
\label{eq:R24}
\end{equation}
Omdat het volume willekeurig is:
\begin{equation}
\vec{\nabla}\cdot\vec{F} = 0
\label{eq:R25}
\end{equation}
Uitgeschreven in componenten:
\begin{equation}
\frac{\partial F_x}{\partial x}
+
\frac{\partial F_y}{\partial y}
+
\frac{\partial F_z}{\partial z}
= 0
\label{eq:R26}
\end{equation}
In Einstein-notatie (met sommatie over herhaalde index \(\alpha\)):
\begin{equation}
\frac{\partial F_\alpha}{\partial x_\alpha} = 0
\label{eq:R27}
\end{equation}
