Appendix 4 De Schwarzschild Formule uitgebreid voor Elektrische Ladingen | De Algemene Relativiteitstheorie van Einstein

Appendix 4 – De Schwarzschild Formule uitgebreid voor Elektrische Ladingen

Reissner–Nordström-metriek

De juiste oplossing binnen de algemene relativiteitstheorie voor een geladen, niet-draaiende, sferisch symmetrische massa is de Reissner–Nordström-metriek (1918). Deze metriek beschrijft het ruimtetijd-interval rond een geladen massa en verwerkt zowel de gravitationele als de elektrische bijdrage:

\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} &= \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} \right) c^{2} dt^{2} - \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} \right)^{-1} dr^{2} \\ &\quad - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} &= \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} \right) c^{2} dt^{2} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} \right)^{-1} dr^{2} \\ &\quad - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \end{aligned} \end{equation}

waarbij:

\( r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}} \) : Schwarzschildradius (massa‑effect),
\( r_{Q}^{2} = \frac{GQ^{2}}{4\pi \varepsilon_{0} c^{4}} \) : lading‑term,
\( Q \) : elektrische lading van het centrale object,
\( M \) : massa van het object,
\( G \) : gravitatieconstante,
\( c \) : lichtsnelheid.

Interpretatie

De eerste term \( \frac{r_{s}}{r} \) geeft de gravitationele vervorming van het vacuum weer zoals in de Schwarzschild‑oplossing.
De toevoeging van de term \( \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} \) beschrijft het repulsieve (voor gelijk geladen deeltjes) elektromagnetische effect volgens de algemene relativiteitstheorie.
Deze metriek reduceert tot de gewone Schwarzschild‑oplossing als \( Q = 0 \) (dus geen lading).
Voor draaiende of extra geladen objecten (zoals elektronen) bestaan er nog uitgebreidere oplossingen, zoals de Kerr–Newman‑metriek.

In de klassieke natuurkunde van Newton is er in het vacuüm een gravitatieveld. Echter volgens Einstein is er geen gravitatieveld, maar is ruimte‑tijd vervormd ten gevolge van gravitatie. In dat geval geldt dat \( T_{\mu\nu} = 0 \).

In het geval van de Reissner–Nordström‑oplossing is de stress‑energie‑tensor \( T_{\mu\nu} \) niet overal nul, zelfs al spreekt men van een “vacuüm”.

Uitleg

In het klassieke Schwarzschild-geval (zonder lading) is \( T_{\mu\nu} = 0 \) in het vacuüm buiten de massa: er is daar geen materie of veld meer aanwezig, zodat Einstein’s veldvergelijking reduceert tot de vacuümvergelijking.
In het geval van Reissner–Nordström echter is er in het vacuüm rondom de centrale lading nog steeds een elektromagnetisch veld; dat elektromagnetisch veld draagt energie en impuls, dus een niet-nul stress-energie-tensor.
Specifiek beschrijft \( T_{\mu\nu} \) in dit geval de energie/momentum van het radiale elektrische veld. Dit betekent dat de Einstein-vergelijking een elektromagnetisch veld als bron heeft, óók als er verder geen materie (zoals massa of stof) buiten het centrale object is.

Samengevat: in de Reissner–Nordström-metriek is \( T_{\mu\nu} \neq 0 \) in het “vacuüm” omdat het elektromagnetisch veld van de lading fysisch reëel is en energie bevat.

Afleiding van de Reissner–Nordström-metriek

Hier volgt een stap-voor-stap afleiding van de Reissner–Nordström-metriek vanaf de Einstein–Maxwell-vergelijkingen. Dit is de standaardprocedure in de algemene relativiteitstheorie om de ruimtetijd van een sferisch symmetrische, geladen massa te bepalen.

Stap 1: Uitgangspunten — metriek en bron

We zoeken een statische, sferisch symmetrische oplossing in de vorm (sferische coördinaten):

\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} = A(r)\, c^{2} dt^{2} - B(r)\, dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \end{aligned} \end{equation}

waarbij \( A(r) \) en \( B(r) \) onbekende functies van de radius \( r \) zijn.

De bron is een elektromagnetisch veld van een puntlading \( Q \).
De stress-energie-tensor van het elektromagnetisch veld is (in natuurlijke eenheden):
\begin{equation} \begin{aligned} T_{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_{0}} \left( F_{\mu\alpha} F_{\nu}{}^{\alpha} - \frac{1}{4} g_{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right) \end{aligned} \end{equation}

Hierbij is:

\( F_{\mu\nu} = \partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu} \) de elektromagnetische veldtensor,
\( A_{\mu} \) de vierdimensionale elektromagnetische potentiaal,
\( g_{\mu\nu} \) de metriek,
\( \mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{H/m} \) de magnetische permittiviteit van het vacuum.

Voor de vier-potentiaal nemen we:

\begin{equation} \begin{aligned} A_{\mu} = \left( \frac{\Phi}{c},\, -\mathbf{A} \right) \quad \text{of} \quad A^{\mu} = \left( \frac{\Phi}{c},\, \mathbf{A} \right) \end{aligned} \end{equation}

\( \Phi \) : elektrische potentiaal (in Volt),
\( \mathbf{A} = (A_{x}, A_{y}, A_{z}) \) : magnetische vectorpotentiaal (in Weber per meter),
\( c \) : lichtsnelheid.

De elektromagnetische veldtensor

De elektromagnetische veldtensor (electromagnetic field strength tensor) \( F_{\mu\nu} \) bevat alle informatie over het elektrische veld \( \mathbf{E} \) en het magnetische veld \( \mathbf{B} \).

In matrixvorm geldt:

\begin{equation} \begin{aligned} F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_{x}/c & -E_{y}/c & -E_{z}/c \\ E_{x}/c & 0 & -B_{z} & B_{y} \\ E_{y}/c & B_{z} & 0 & -B_{x} \\ E_{z}/c & -B_{y} & B_{x} & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}

Voor een zuiver radiaal elektrisch veld van een puntlading \( Q \) wordt dit:

\begin{equation} \begin{aligned} F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{Q}{r^{2}} & 0 & 0 \\ -\frac{Q}{r^{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned} \end{equation}

Het enige niet‑nul component van \( F_{\mu\nu} \) in dit radiale veld is:

\begin{equation} \begin{aligned} F_{tr} = -F_{rt} = \frac{Q}{r^{2}} \end{aligned} \end{equation}

Stap 2: Einstein–Maxwell‑vergelijkingen

De Einstein‑vergelijking met elektromagnetische bron is:

\begin{equation} \begin{aligned} G_{\mu\nu} = 8\pi\, T_{\mu\nu} \end{aligned} \end{equation}

waarbij \( G_{\mu\nu} \) de Einstein‑tensor is van de metriek.

De Maxwell‑vergelijkingen in vacuüm zijn:

\begin{equation} \begin{aligned} \nabla_{\mu} F^{\mu\nu} = 0, \qquad \nabla_{[\alpha} F_{\beta\gamma]} = 0 \end{aligned} \end{equation}

Voor de statische, sferisch‑symmetrische situatie volgt:

\begin{equation} \begin{aligned} F^{tr} = \frac{Q}{r^{2}} \sqrt{\frac{1}{A(r) B(r)}} \end{aligned} \end{equation}

Stap 3: Berekenen van de Einstein‑tensor

De Einstein‑tensorcomponenten voor de algemene metriek

\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = A(r)c^{2}dt^{2} - B(r)dr^{2} - r^{2}d\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \end{aligned} \end{equation}

zijn:

\begin{equation} \begin{aligned} G_t^t = \frac{B'}{r B^{2}} + \frac{1}{r^{2}}\left(1 - \frac{1}{B}\right) \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} G_r^r = \frac{A'}{r A B} - \frac{1}{r^{2}}\left(1 - \frac{1}{B}\right) \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} G_\theta^\theta = G_\phi^\phi = \frac{1}{4AB} \left( 2A'' - A' \frac{B'}{B} + \frac{A'^2}{A} \right) - \frac{1}{2rB} \left( \frac{A'}{A} - \frac{B'}{B} \right) \end{aligned} \end{equation}

waar een prime (′) differentiëren naar \( r \) betekent.

Stap 4: Stress‑energie‑tensorcomponenten

De stress‑energie‑tensor van het elektrische veld is diagonaal met:

\begin{equation} \begin{aligned} T_t^t = T_r^r = -\frac{Q^{2}}{8\pi r^{4}}, \qquad T_\theta^\theta = T_\phi^\phi = \frac{Q^{2}}{8\pi r^{4}} \end{aligned} \end{equation}

Stap 5: Vergelijkingen koppelen en oplossen

De Einstein‑vergelijkingen worden expliciet:

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{B'}{r B^{2}} + \frac{1}{r^{2}}\left(1 - \frac{1}{B}\right) = -\frac{Q^{2}}{r^{4}} \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{A'}{r A B} - \frac{1}{r^{2}}\left(1 - \frac{1}{B}\right) = -\frac{Q^{2}}{r^{4}} \end{aligned} \end{equation}

Oplossen van dit stelsel leidt tot:

\begin{equation} \begin{aligned} A(r) = \frac{1}{B(r)} = 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^{2}}{r^{2}} \end{aligned} \end{equation}

waarbij \( M \) een integratieconstante is die de massa vertegenwoordigt (in geometrische eenheden).

Stap 6: Resultaat — Reissner–Nordström‑metriek

De oplossing is nu de metrieklijn:

\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} \right)c^{2} dt^{2} - \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} \right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2} \end{aligned} \end{equation}

waar

\begin{equation} \begin{aligned} d\Omega^{2} = d\theta^{2} + \sin^{2}\theta\, d\phi^{2}. \end{aligned} \end{equation}

Conclusie

De Reissner–Nordström‑metriek is de unieke statische, sferisch symmetrische oplossing van de Einstein–Maxwell‑vergelijkingen met een puntmassa en elektrische lading. Dit betekent dat zowel gravitationele als elektromagnetische krachten worden meegenomen in de ruimtetijdbeschrijving.

Opmerking over de kosmologische constante

De klassieke Schwarzschild‑oplossing is een exacte oplossing van Einstein’s veldvergelijkingen, maar onder de expliciete aanname dat de kosmologische constante \( \lambda = 0 \) is. In de originele Schwarzschild‑afleiding wordt deze \( \lambda \)-term dus verwaarloosd of afwezig gelaten, wat betekent dat de metriek geen rekening houdt met kosmologische expansie of repulsie die door een niet‑nul \( \lambda \) zou worden veroorzaakt.

In hoeverre wordt \( \lambda \) meegerekend?

De “standaard” Schwarzschild‑metriek betreft een statische vacuümoplossing zonder kosmologische constante:

\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} = \left(1 - \frac{2GM}{c^{2} r}\right)c^{2} dt^{2} - \left(1 - \frac{2GM}{c^{2} r}\right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \end{aligned} \end{equation}

of …

Schwarzschild‑metriek

\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} = \left(1 - \frac{r_{s}}{r}\right)c^{2} dt^{2} - \left(1 - \frac{r_{s}}{r}\right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2} \end{aligned} \end{equation}

waarbij \( r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}} \) en

\begin{equation} \begin{aligned} d\Omega^{2} = d\theta^{2} + \sin^{2}\theta\, d\phi^{2}. \end{aligned} \end{equation}

Volledige Einsteinvergelijking

\begin{equation} \begin{aligned} R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\, g_{\mu\nu} + \lambda g_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu} \end{aligned} \end{equation}

In de Schwarzschild‑afleiding wordt \( \lambda = 0 \) genomen (dus géén kosmologische constante).

Als \( \lambda \neq 0 \): de Schwarzschild–de Sitter metriek

Wanneer de \( \lambda \)-term wel wordt meegenomen, ontstaat de Schwarzschild–de Sitter (of Kottler) metriek:

\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = \left(1 - \frac{r_{s}}{r} - \frac{\lambda r^{2}}{3}\right)c^{2} dt^{2} - \left(1 - \frac{r_{s}}{r} - \frac{\lambda r^{2}}{3}\right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2} \end{aligned} \end{equation}

Dit is eveneens een exacte oplossing, maar bevat nu expliciet de kosmologische constante en beschrijft bijvoorbeeld een zwart gat in een uitdijend universum.

Conclusie

De Schwarzschild‑metriek is exact, maar alleen voor het geval \( \lambda = 0 \).
Voor \( \lambda \neq 0 \) wordt het effect volledig meegenomen in de Schwarzschild–de Sitter‑oplossing.
Het verwaarlozen van \( \lambda \) is meestal gerechtvaardigd voor sterren of planeten, omdat \( \lambda \) extreem klein is vergeleken met lokale zwaartekrachtsvelden.

Dus: de klassieke Schwarzschild‑metriek is exact, maar alleen onder de aanname dat de kosmologische constante geen rol speelt.

Reissner–Nordström–de Sitter metriek

Wanneer we de Schwarzschild–de Sitter metriek combineren met de Reissner–Nordström‑metriek, ontstaat de Reissner–Nordström–de Sitter‑oplossing:

\begin{equation} \begin{aligned} ds^{2} = \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} - \frac{\lambda r^{2}}{3} \right)c^{2} dt^{2} \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} - \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} - \frac{\lambda r^{2}}{3} \right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2} \end{aligned} \end{equation}

Uitleg van de termen

\( \frac{2GM}{c^{2} r} \): gravitationele (massa‑)term — aantrekkend door massa.
\( \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} \): elektromagnetische (lading‑)term — repulsief voor gelijke ladingen.
\( \frac{\lambda r^{2}}{3} \): kosmologische term — repulsief bij \( \lambda > 0 \) (de Sitter), aantrekkend bij \( \lambda < 0 \) (anti‑de Sitter).

Speciale gevallen

\( \lambda = 0 \) → gewone Reissner–Nordström‑metriek
\( Q = 0 \) → Schwarzschild–de Sitter (of Kottler) metriek
\( Q = 0,\ \lambda = 0 \) → klassieke Schwarzschild‑metriek