Appendix 12 — Afleiding van de Euler–Lagrange‑vergelijking
Appendix 12.1 — Definitie van de functionaal
We beginnen met een functie \( f_{1} \) die afhangt van drie variabelen:
\(t\), \(x_{1}(t)\) en \( \dot{x}_{1}(t) = \frac{dx_{1}}{dt} \):
\begin{equation}
f_{1} = f\!\left(t,\, x_{1}(t),\, \dot{x}_{1}(t)\right).
\end{equation}
Hier is \(x_{1}(t)\) een functie van \(t\), dus \(\dot{x}_{1}(t)\) is niet nul.
In feite is \(t\) de enige onafhankelijke variabele;
\(f_{1}\) is dus een functie van een functie.
We beschouwen nu de functionaal:
\begin{equation}
I_{1} = \int_{t_{1}}^{t_{2}}
f\!\left(t,\, x_{1}(t),\, \dot{x}_{1}(t)\right)\, dt.
\end{equation}
We zoeken de extremale waarde (minimum, maximum of zadelpunt) van \(I_{1}\).
Daarvoor moet gelden:
\begin{equation}
\delta I_{1} = 0.
\end{equation}
Appendix 12.2 — Variatie van de baan
Om te bewijzen dat \(I_{1}\) een extremum is, beschouwen we een licht verschoven curve:
\begin{equation}
x_{2}(t,\lambda)
= x_{1}(t) + \lambda\, \xi(t),
\end{equation}
waarbij:
\(\lambda\) een kleine parameter is, onafhankelijk van \(t\),
\(\xi(t)\) een willekeurige maar gladde functie is.
Omdat de variatie de eindpunten niet mag veranderen, geldt:
\begin{equation}
\xi(t_{1}) = 0,
\qquad
\xi(t_{2}) = 0.
\end{equation}
De functie \(x_{2}(t,\lambda)\) verschilt dus alleen tussen \(t_{1}\) en \(t_{2}\),
maar valt samen met \(x_{1}(t)\) op de eindpunten.
Appendix 12.3 — Variatie van de functionaal
De integraal \(I_{2}\) voor de aangrenzende curve is:
\begin{equation}
I_{2} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{2}\, dt.
\end{equation}
Met:
\begin{equation}
f_{2} = f\!\left(t,\; x_{2}(t,\lambda),\; \frac{d{x}_{2}(t,\lambda)}{dt}\right).
\end{equation}
Door (6) in te vullen in vergelijking (4) krijgen we:
\begin{equation}
I_2=\int_{t_1}^{t_2} f\!\left(t,\; x_{2}(t,\lambda),\; \frac{d{x}_{2}(t,\lambda)}{dt}\right)dt.
\end{equation}
\begin{equation}
=\int_{t_1}^{t_2} f\!\left(t,\; x_{1}(t)+\lambda\xi(t)),\;
\frac{d\left({x}_{1}(t)+\lambda\xi(t)\right)}{dt}\right)dt.
\end{equation}
\begin{equation}
I_2=\int_{t_1}^{t_2} f\!\left(t,\; x_{1}(t)+\lambda\xi(t)),\;
\frac{d{x}_{1}(t)}{dt}+\frac{d\lambda\xi(t)}{dt}\right)dt
\end{equation}
Omdat \(I_{1}\) een extreme waarde is, moet ook \(I_{2}\) een extremum zijn voor \(\lambda = 0\):
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0} I_{2}
= \text{minimum, maximum of zadelpunt}.
\end{equation}
De extreme waarde wordt gevonden door de afgeleide naar \(\lambda\) te nemen en deze
gelijk te stellen aan nul:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\frac{d I_{2}}{d\lambda}
= 0.
\end{equation}
In combinatie met vergelijking (6) :
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\frac{d}{d\lambda}
\int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{2}\, dt
= 0,
\end{equation}
of:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{d f_{2}}{d\lambda}\, dt
= 0.
\end{equation}
Appendix 12.4 — Differentiatie naar de variatieparameter
We hadden:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\frac{d}{d\lambda}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left( f_{2}\, dt\right) = 0.
\end{equation}
Omdat dit een product is van twee functies, passen we de regel van partiële differentiatie toe:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\left(
\frac{d f_{2}}{d\lambda}\, dt
+ f_{2}\, \frac{d}{d\lambda}(dt)
\right)
= 0.
\end{equation}
Omdat \(t\) en \(\lambda\) onafhankelijk zijn, is:
\begin{equation}
\frac{d t}{d\lambda} = 0,
\end{equation}
dus de tweede term valt weg:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{d f_{2}}{d\lambda}\, dt
= 0
\end{equation}
Appendix 12.5 — Uitwerken van \( \frac{d f_{2}}{d\lambda} \)
\(f_2\) is, zoals eerder vermeld, een functie van drie variabelen:
\begin{equation}
f_{2} = f\!\left(t,\; x_{2},\; \dot{x}_{2}\right).
\end{equation}
We passen nu hierop de kettingregel toe:
\begin{equation}
\frac{d f_{2}}{d\lambda}
=
\frac{\partial f_{2}}{\partial t}\frac{dt}{d\lambda}
+ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda}
+ \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda}
\end{equation}
dus:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial t}\frac{dt}{d\lambda}
+ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda}
+ \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda}
\right)\, dt
= 0
\end{equation}
Omdat \(t\) en \(\lambda\) onafhankelijk zijn, is de eerste term nul:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial t}\cdot 0
+ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda}
+ \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda}
\right)\, dt
= 0
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda}
+ \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda}
\right)\, dt
= 0
\end{equation}
Omdat:
\begin{equation}
\frac{d\dot{x}_{2}}{d\lambda}
=\frac{d^2x_2}{dtd\lambda}
= \frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)
\end{equation}
Leidt vergelijking (22) , samen met (24) , tot:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda}
+ \frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)
\right)dt=0
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\left(
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\frac{dx_{2}}{d\lambda}dt
+
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)dt
\right)=0
\end{equation}
Appendix 12.6 — Integreren per delen
We integreren nu partiëel de tweede term:
\begin{equation}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)\, dt
=
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
d\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
=
\left[
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{dx_{2}}{d\lambda}
\right]_{t_{1}}^{t_{2}}
-
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{dx_{2}}{d\lambda}\,
\frac{d}{dt}\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\right)
\, dt.
\end{equation}
De afgeleide van \(x_2\) naar 𝜆 wordt gevonden door differentiatie van vergelijking (4) :
\begin{equation}
\frac{dx_2(t,\lambda)}{d\lambda}=\frac{d\left(x_1(t)+\lambda\xi(t)\right)}{d\lambda}=0+\xi(t)=\xi(t)
\end{equation}
Omdat de functie \(\xi(t)\) nul is aan de grenzen van de integraal (zie vergelijking (5) ), verdwijnt de
linkerkant van de rechterterm in vergelijking (27) :
\begin{equation}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)\, dt
=
\left[
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{dx_{2}}{d\lambda}
\right]_{t_{1}}^{t_{2}}
-
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{dx_{2}}{d\lambda}\,
\frac{d}{dt}\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\right)
\, dt
\end{equation}
Dit geeft dus:
\begin{equation}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\frac{d}{dt}\left(\frac{dx_{2}}{d\lambda}\right)\, dt
=
-
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{dx_{2}}{d\lambda}\,
\frac{d}{dt}\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}
\right)
\, dt
\end{equation}
Dit resultaat gecombineerd met vergelijking (25) leidt tot:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\left(
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_2}\frac{dx_2}{d\lambda}\, dt
+
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot x_2}\,
\frac{d\left(\frac{dx_2}{d\lambda}\right)}{dt}dt
\right)
= 0
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\left(
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_2}\frac{dx_2}{d\lambda}\, dt
-
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\frac{dx_{2}}{d\lambda}\,
\frac{d}{dt}\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right)dt
\right)
= 0
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_2}\frac{dx_2}{d\lambda}
-
\frac{dx_{2}}{d\lambda}\,
\frac{d}{dt}
\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right)\right)dt
= 0
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\int_{t_{1}}^{t_{2}}
\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_2}
-
\,
\frac{d}{dt}
\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right)\right)\frac{dx_2}{d\lambda}dt
= 0
\end{equation}
Om deze integraal nul te maken, stellen we dat:
\begin{equation}
\lim_{\lambda \to 0}
\left(
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_2}
-
\,
\frac{d}{dt}
\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right)\right)
= 0
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_2}
-
\,
\frac{d}{dt}
\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial \dot{x}_{2}}\right)
= 0
\end{equation}
Nus is 𝜆 volledig verdwenen en hebben we een algemene uitdrukking verkregen voor de voorwaarde waaraan
een functie moet voldoen zodat de integraal 𝛪 een extreme waarde heeft.
(1) voor onze afleiding, maar we zouden dit startpunt nog
algemener kunnen maken door een functie te nemen zoals:
\begin{equation}
f_1=f\left(t,x_1(t),\frac{dx_1(t)}{dt}, x_2(t), \frac{dx_2(t)}{dt}
\text{..............}x_n(t),\frac{dx_n(t)}{dt} \right)
\end{equation}
Dit zou hebben geleid tot een meer algemene vorm van vergelijking (37) :
\begin{equation}
\frac{\partial f}{\partial x_n}
-
\,
\frac{d}{dt}
\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x_n}}\right)
= 0
\end{equation}
Of in een andere notatie:
\begin{equation}
\frac{d}{dt}
\left(\frac{\partial f}{\partial \dot{x_n}}\right)
=
\frac{\partial f}{\partial x_n}
\end{equation}
Vergelijking (40) is de Euler-Lagrange vergelijking. Het geeft de voorwaarde waaraan een functie
moet voldoen zodat de integraal 𝛪 een extreme waarde is.
Dit vormt het fundament van de variatierekening, de klassieke mechanica,
de veldentheorie en de algemene relativiteitstheorie.
